题目

设直线 ，( ). （1） 求证：直线 恒过定点 ，并求出定点 坐标； （2） 若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程； （3） 设直线 与 轴､ 轴的正半轴交于点 ， ，求当 (点 为（1）中的定点)取得最小值时直线 的方程. 答案： 解：因为 l:3x+4y−19+λ(2x+y−6)=0 ， 由 {3x+4y−19=02x+y−6=0 ，解得 {x=1y=4 ，则定点 M 为 (1，4) ； 解：因为直线 l 在两坐标轴上的截距相等， 当直线过原点时， −19−6λ=0 ，则 λ=−196 ，此时直线 l 的方程为 4x−y=0 ； 当直线不过原点时，直线方程化为 (3+2λ)x+(4+λ)y−19－6λ=0 ， 则 3+2λ=4+λ ，解得 λ＝1 ，所求直线为 x+y−5=0 ； 综上，直线方程为 4x−y=0 或 x+y−5=0 ； 解：设 A(a,0) ， B(0,b) (a>0,b>0) ，则直线 l 的方程可设为 xa+yb=1 ， 又直线 l 过点 M(1,4) ，则 1a+4b=1 ， 而 |MA||MB|=AM→⋅MB→=(1−a,4)⋅(−1,b−4) =a+4b−17=(a+4b)(1a+4b)−17=4ba+4ab≥24ba⋅4ab=8 当且仅当 a=b=5 时等号成立，此时直线 l 的方程为 x+y−5=0 .

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