题目

已知数列 满足 ，且 ，数列 满足 ，且 ，( ). （1） 求证：数列 是等差数列，并求通项 ； （2） 解关于 的不等式： . 答案： 证明：由 an+1=2anan+2 ，且 a1=2 知， an>0 故有 1an+1−1an=12 得，所以数列 {1an} 是等差数列 由于 1a1=12,d=12 ，所以 1an=n2 ，即 an=2n 解：由 bn+1−bn=anbn 得， bn+1bn=an+1=n+2n ，由累乘法得， bn=n(n+1) 则不等式 22an<bn 可化为 2n<n(n+1) ，即 n(n+1)2n>1 令 cn=n(n+1)2n,n∈N∗ ，则 cn>1 . 当 n=1 时， c1=1 ，不符合； 当 n=2 时， c2=32>1 ，符合； 当 n=3 时， c3=32>1 ，符合； 当 n=4 时， c4=54>1 ，符合； 当 n=5 时， c5=1516<1 ，不符合； 而当 n≥5,n∈N∗ 时， cn+1−cn=(n+1)(n+2)2n+1−n(n+1)2n=(n+1)(2−n)2n+1<0 故当 n≥5,n∈N∗ 不符合； 综上所述， n∈{2,3,4}

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