题目

某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的I、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴， 向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。区域I、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场（初速度视为零），经b孔进入磁场，过P面上的c点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。 （1） 求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L； （2） 求粒子打到记录板上位置的x坐标； （3） 求粒子打到记录板上位置的y坐标（用R、d表示）； （4） 如图乙所示，在记录板上得到三个点s1、s2、s3 ， 若这三个点是质子 、氚核 、氦核 的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）。 答案： 解：设粒子经加速电场到b孔的速度大小为v，粒子在区域I中，做匀速圆周运动对应圆心角为α，在M、N两金属板间，由动能定理得qU= 12 mv2 ① 在区域I中，粒子做匀速圆周运动，磁场力提供向心力，由牛顿第二定律得 qvB=mv2R             ② 联立①②式得 R=2mqUqB             ③ 由几何关系得 d2+（R−L）2=R2             ④ cosα=R2−d2R             ⑤ sinα=dR             ⑥ 联立①②④式得 L=2mqUqB−2mUqB2−d2         ⑦ 解：设区域Ⅱ中粒子沿z轴方向的分速度为vz，沿x轴正方向加速度大小为a，位移大小为x，运动时间为t，由牛顿第二定律得qE=ma            ⑧ 粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得 vz=vcosα             ⑨ d=vzt             ⑩ 粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得 x=12at2             ⑪ 联立①②⑤⑧⑨⑩⑪式得 x=md2E4mU−2qd2B2             ⑫ 解：设粒子沿y方向偏离z轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y方向偏离的距离为y'，由运动学公式得y'=vtsinα            ⑬ 由题意得y=L+y'            ⑭ 联立①④⑥⑨⑩⑬⑭式 y=R−R2−d2+d2R2−d2         ⑮ 解：s1、s2、s3分别对应氚核 H13 、氦核 H24e 、质子 H11 的位置。

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