题目

对于 若数列 满足 则称这个数列为“K数列”. （1） 已知数列1, 是“K数列”,求实数m的取值范围; （2） 是否存在首项为-1的等差数列 为“K数列”,且其前n项和 使得 恒成立?若存在,求出 的通项公式;若不存在,请说明理由; （3） 已知各项均为正整数的等比数列 是“K数列”,数列 不是“K数列”,若 试判断数列 是否为“K数列”,并说明理由. 答案： 解：由题意得 (m+1)−1>1, m2−(m+1)>1, 解得 m>2, 所以实数 m 的取值范围是 m>2. 解：假设存在等差数列 {an} 符合要求,设公差为 d, 则 d>1, 由 a1=−1, 得 Sn=−n+n(n−1)2d, 由题意,得 −n+n(n−1)2d<12n2−n 对 n∈N* 均成立,即 (n−1)d<n. ①当 n=1 时, d∈R; ②当 n>1 时, d<nn−1, 因为 nn−1=1+1n−1>1, 所以 d≤1, 与 d>1 矛盾, 所以这样的等差数列不存在. 解：设数列 {an} 的公比为q,则 an=a1qn−1, 因为 {an} 的每一项均为正整数,且 an−1−an=anq−an=an(q−1)>1>0, 所以在 {an−an−1} 中,“ a2−a1 ”为最小项. 同理, {12an−12an−1} 中,“ 12a2−12a1 ”为最小项. 由 {an} 为“ K 数列”,只需 a2−a1>1, 即 a1(q−1)>1, 又因为 {12an} 不是“ K 数列”,且 12a2−12a1 为最小项, 所以 12a2−12a1≤1, 即 a1(q−1)≤2 , 由数列 {an} 的每一项均为正整数,可得 a1(q−1)=2, 所以 a1=1,q=3 或 a1=2,q=2. ①当 a1=1,q=3 时, an=3n−1, 则 bn=3nn+1, 令 cn=bn+1−bn(n∈N*), 则 cn=3n+1n+2−3nn+1=3n⋅2n+1(n+1)(n+2), 又 3n+1⋅2n+3(n+2)(n+3)−3n⋅2n+1(n+1)(n+2) =3nn+2⋅4n2+8n+6(n+1)(n+3)>0, 所以 {cn} 为递增数列,即 cn>cn−1>cn−2>⋅⋅⋅>c1, 所以 b2−b1=3−32=32>1, 所以对于任意的 n∈N*, 都有 bn+1−bn>1, 即数列 {bn} 为“ K 数列”. ②当 a1=2,q=2 时, an=2n, 则 bn=2n+1n+1. 因为 b2−b1=23≤1, 所以数列 {bn} 不是“K数列”. 综上:当 a1=1,q=3 时,数列 {bn} 为“K数列”, 当 a1=2,q=2 时, an=2n, 数列 {bn} 不是“K数列”.

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