题目

已知函数f（x）= ． （1） 证明：∀k∈R，直线y=g（x）都不是曲线y=f（x）的切线； （2） 若∃x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 成立，求实数k的取值范围． 答案： 解：证明：f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）， f（x）的导数为f′（x）= lnx−1(lnx)2 ，直线y=g（x）过定点（1，0），若直线y=g（x）与y=f（x）相切于点（m， mlnm ），则k= lnm−1(lnm)2 = mlnmm−1 ，即为lnm+m﹣1=0①设h（x）=lnx+x﹣1，h′（x）= 1x +1＞0，则h（x）在（0，+∞）递增，h（1）=0，当且仅当m=1①成立．与定义域矛盾，故∀k∈R，直线y=g（x）都不是曲线y=f（x）的切线； 解：f（x）≤g（x）+ 12 ⇔ xlnx ﹣k（x﹣1）≤ 12 ，可令m（x）= xlnx ﹣k（x﹣1），x∈[e，e2]， 则∃x∈[e，e2]，使得f（x）≤g（x）+ 12 成立⇔m（x）min≤ 12 ．m′（x）= lnx−1(lnx)2 ﹣k=﹣（ 1lnx ﹣ 12 ）2+ 14 ﹣k，当k≥ 14 时，m′（x）≤0，m（x）在[e，e2]递减，于是m（x）min=m（e2）= e22 ﹣k（e2﹣1）≤ 12 ，解得k≥ 12 ，满足k≥ 14 ，故k≥ 12 成立；当k＜ 14 时，由y=﹣（t﹣ 12 ）2+ 14 ﹣k，及t= 1lnx 得m′（x）=﹣（ 1lnx ﹣ 12 ）2+ 14 ﹣k在[e，e2]递增，m′（e）≤m′（x）≤m′（e2），即﹣k≤m′（x）≤ 14 ﹣k，①若﹣k≥0即k≤0，m′（x）≥0，则m（x）在[e，e2]递增，m（x）min=m（e）=e﹣k（e﹣1）≥e＞ 12 ，不成立；②若﹣k＜0，即0＜k＜ 14 时，由m′（e）=﹣k＜0，m′（e2）= 14 ﹣k＞0，由m′（x）单调性可得∃x0∈[e，e2]，由m′（x0）=0，且当x∈（e，x0），m′（x）＜0，m（x）递减；当x∈（x0，e2）时，m′（x）＞0，m（x）递增，可得m（x）的最小值为 x0lnx0 +k（x0﹣1），由 x0lnx0 +k（x0﹣1）≤ 12 ，可得k≥ 1x0−1 （ x0lnx0 ﹣ 12 ）＞ 1x0−1 （ x0−12 ）= 12 ＞ 14 ，与0＜k＜ 14 矛盾．综上可得k的范围是k≥ 12 ．

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