题目

已知函数  ，x  R其中a>0. （1） 求函数f(x)的单调区间； （2） 若函数f(x)在区间(-3,0)内恰有两个零点，求a的取值范围； （3） 当a=1时，设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t),记  ,求函数g(t)在区间[-4,-1]上的最小值. 答案： 解： f′(x)=x2+(1−a)x−a=(x+1)(x−a) f′(x)=0 时， x=−1 或 a(>0) x (−∞,−1) −1 (−1,a) a (a,+∞) f′(x) + 0 − 0 + f(x) ↗ ↗ ↗ 函数单调增区间为 (−∞,−1) ， (a,+∞) ；减区间为 (−1,a) 解：由（1）知 f(x) 在 (−3,−1) 内单调递增，在 (−1,0) 内单调递减 所以函数在 (−3,0) 内恰有两个零点当且仅当 {f(−3)<0f(−1)>0f(0)<0  解得 0<a<13 ， a 的取值范围是 (0,13) 解： a=1,f(x)=13x3−x−1 ，由（1）知： f(x) 在 [−4,−1] 内单调递增，在 [−1,1] 内单调递减，在 [1,2] 内单调递增 ①当 t=−4,M−m=f(−1)−f(−4)=18 ② t∈(−4,−2],t+3∈(−1,1],∴−1∈[t,t+3] ， f(x) 在 [t,−1] 单调递增，在 [−1,t+3] 单调递减. ∴M(t)=f(−1)=−13 .最小值是 f(t) 与 f(t+3) 的较小者 f(t+3)−f(t)=3(t+1)(t+2) ， ∵t∈(−4,−2],   ∴m(t)=f(t) ∴g(t)=−13−f(t) ，在 t∈(−4,−2] 递减，最小值为 g(−2)=−13−f(−2)=43 ①②可以合并 t∈[−4,−2]   ③ t∈[−2,−1],t+3∈[1,2] ， −1,1∈[t,t+3] 最大值为 f(−1) 与 f(t+3) 较大者，最小值为 f(1) 与 f(t) 较小者 f(x) 在 [−2,−1] ， [1,2] 上单调递增 ∴f(−2)≤f(t)≤f(−1),f(1)≤f(t+3)≤f(2) 而 f(1)=f(−2)=−53,f(−1)=f(2)=−13 ∴M(t)=f(−1)=−13 ， m(t)=f(1)=−53 ， ∴g(t)=43 综上，函数 g(t) 在 [−4,−1] 上的最小值为 43

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