题目

如图所示，点在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱下底面的内接四边形，且为圆柱下底面的直径，为圆柱的母线，且 ， 圆柱的底面半径为1. （1） 证明：； （2） 为的中点，点在线段上，记 ， 求二面角的余弦值. 答案： 证明∵AC为直径，点D在圆上且不同于A，C点，∴AD⊥DC，又∵PD为母线，∴PD⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，从而PD⊥AD，又DC∩PD=D，∴AD⊥平面PDC，又PC⊂平面PDC，∴AD⊥PC. 解：∵AD=2，圆柱的底面直径为2，即AC=2，DC=2，又B为AC⌢的中点，∴AB=BC=2，即四边形ABCD为正方形，∴DA，DC，DP两两相互垂直，以D为原点，分别以DA→，DC→，DP→的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，∴P(0，0，3)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，PA⇀=(2，0，−3)，PB⇀=(2，2，−3)，∵PQ⇀=2QB⇀，∴PQ⇀=23PB⇀=(223，223，−2)，∴AQ⇀=PQ⇀−PA⇀=(−23，223，1)，AC→=(−2，2，0)，设平面QAC的法向量为m→=(x，y，z)，∴{AQ⇀⋅m=0，AC⇀⋅m=0，∴{−23x+223y+z=0，−2x+2y=0，令x=3，∴y=3，z=−2，∴m=(3，3，−2)，易知平面BAC的一个法向量为n=(0，0，−1)，∴cos⟨m，n⟩=m⋅n|m|⋅|n|=29+9+2⋅1=225=1010.又由题知二面角B−AC−Q为锐二面角，∴所求的余弦值为1010.

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