题目

用记号 ai表示a0+a1+a2+a3+…+an ， bn=a2i ， 其中i∈N，n∈N* ． （1）设（1+x）k=a0+a1x+a2x2+…+a2n﹣1x2n﹣1+a2nx2n（x∈R），求b2的值；（2）若a0 ， a1 ， a2 ， …，an成等差数列，求证：（aiC）=（a0+an）•2n﹣1；（3）在条件（1）下，记dn=1+[（﹣1）ibiC]，计算的值． 答案：（1）解：将n=2代入∑k=12n（1+x）k=a0+a1x+a2x2+…+a2n﹣1x2n﹣1+a2nx2n中得，∑I=14（1+x）k=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，其中a0+a1+a2+a3+a4=2+4+8+16=30，a0﹣a1+a2﹣a3+a4=0，所以b2=a0+a2+a4=15；（2）证明：设等差数列的通项公式为an=a0+nd，其中d为公差，则∑i=0n（aiCni）=a0（Cn0+Cn1+…+Cnn）+d（Cn1+2Cn2…+nCnn），因为kCnk=nCn-1k-1，所以Cn1+2Cn2…+nCnn=n（Cn-10+Cn-11+…+Cn-1n-1），所以∑i=0n（aiCni）=a0•2n+nd•2n﹣1=（2a0+nd）•2n﹣1=（a0+an）•2n﹣1；（3）解：令x=1，则∑i=02nai=2+22+…+22n=21-4n1-2=2•4n﹣2，x=﹣1，则∑i=02n[（﹣1）iai]=0，所以bn=∑i=02na2i=4n﹣1根据已知条件可知，dn=1+∑i=0n[（﹣1）ibiCni]=（﹣3）n+1，将bn=4n﹣1、dn=（﹣3）n+1，代入limn→∞dnbn得到：limn→∞dnbn=limn→∞-3n+14n-1=limn→∞ -34n-14n1-14n=0．

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