题目

如图AB∥CD，点H在CD上，点E、F在AB上，点G在AB、CD之间，连接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足为H，FG⊥HG，垂足为G. （1） 求证：∠EHC+∠GFE=180°. （2） 如图2，HM平分∠CHG，交AB于点M，GK平分∠FGH，交HM于点K，求证：∠GHD=2∠EHM. （3） 如图3，EP平分∠FEH，交HM于点N，交GK于点P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度数. 答案： 解：∵HG⊥HE，FG⊥HG ∴FG∥EH， ∴∠GFE+∠HEF=180°， ∵AB∥CD ∴∠BEH=∠CHE ∴∠EHC+∠GFE=180° 解：设∠EHM=x， ∵HG⊥HE， ∴∠GHK=90°-x, ∵MH平分∠CHG， ∴∠EHC=90°-2x， ∵AB∥CD ∴∠HMB=90°-x， ∴∠HMB=∠MHG=90°-x， ∵AB∥CD， ∴∠BMH+∠DHM=180°，即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°， ∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°，解得，∠GHD =2x， ∴∠GHD=2∠EHM； 解：   延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，如图， ∵AB∥CD，∠BFG=50° ∴∠HRG=50° ∵FG⊥HG， ∴∠GHR=40°， ∵HG⊥HE， ∴∠EHG=90°， ∴∠CHE=180°-90°-40°=50°， ∵AB∥CD, ∴∠FEH=∠CHE=50°， ∵EP是∠HEF的平分线， ∴∠SEP= 12 ∠FEH=25°， ∵GH平分∠HGF， ∴∠HGS= 12 ∠HGF=45°, ∴∠HSG=45°， ∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°， ∴∠EPS=20°，即 ∠NPK=20°.

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