题目

已知A（x1 ， f（x1），B（x2 ， f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜0）图象上的任意两点，且初相φ的终边经过点P（1，﹣ ），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 ． （1） 求函数f（x）的解析式； （2） 当x∈[0， ]时，求函数f（x）的单调递增区间； （3） 当x∈[0， ]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围． 答案： 解：∵初相φ的终边经过点P（1，﹣ 3 ）， ∴φ为第四象限角，且tanφ= −31 =﹣ 3 ，再结合﹣ π2 ＜φ＜0，可得φ=﹣ π3 ．∵|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 T2 = πω = π3 ，∴ω=3，函数f（x）=2sin（3x﹣ π3 ）． 解：令2kπ﹣ π2 ≤3x﹣ π3 ≤2kπ+ π2 ， 求得 2kπ3 ﹣ π18 ≤x≤ 2kπ3 + 5π8 ，可得函数的增区间为[ 2kπ3 ﹣ π18 ， 2kπ3 + 5π18 ]．再结合x∈[0， π2 ]，可得当x∈[0， π2 ]时函数的增区间为[0， 5π18 ]． 解：∵当x∈[0， π6 ]时， ∴3x﹣ π3 ∈[﹣ π3 ， π6 ]，f（x）∈[﹣ 3 ，1]，故 1﹣ 22+f(x)  的最大值为1﹣ 23 = 13 ．不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，即m≥ f(x)2+f(x) =1﹣ 22+f(x)  恒成立，∴m≥ 13 ．

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