题目

（Ⅰ）二项式 的前三项的系数的和为129，写此展开式中所有有理项和二项式系数最大的项； （Ⅱ）已知 ，求下列各式的值． a0； a1+a2+a3+…+a7； a1+a3+a5+a7； a0+a2+a4+a6； |a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|． 答案：解：（Ⅰ）∵二项式 (x+2x3)n(n∈N*) 的前三项的系数的和为129， ∴ Cn0 + Cn1 •2+ Cn2 •22=129，求得n=8，故展开式的通项公式为Tr+1= C8r •2r• x4−5r6 ，令4﹣ 5r6 为整数，可得r=0，6，故此展开式中所有有理项为：T1=x4，T7= C86 •x﹣1．二项式系数最大的项为T5= C84 • x23 ．（Ⅱ）∵已知 (3x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7 ， （1） 在已知 (3x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7 中，令x=0，可得a0=﹣1． （2） 在已知 (3x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7 中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7 =27=128  ①，∴a1+a2+a3+…+a7 =27+1=129． （3） 在已知 (3x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7 中，令x=﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7 =﹣47②，把①式减去②式，并除以2，可得 a1+a3+a5+a7 = 128+472 ． （4） 把①式加上②式，并除以2，可得a0+a2+a4+a6= 128−472 ． （5） 根据 (3x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7 ，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|即为（3x+1）7的展开式中各项系数和，为47

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