题目

如图，直线PQMN，一副直角三角板中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． （1） 若如图1摆放，当平分时，证明：平分 ． （2） 若如图2摆放时，则  （3） 若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点 ， 作和的角平分线相交于点（如图3），求的度数． （4） 若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出旋转的时间． 答案： 解：如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，∵ED平分∠PEF，∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，∵PQ//MN，∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，∴∠MFD＝∠DFE，∴FD平分∠EFM； 【1】15° 解：如图3，分别过点F、H作FL//MN，HR//PQ，∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，∵FL//MN，HR//PQ，PQ//MN，∴FL//PQ//HR，∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，∴∠QGH＝12∠FGQ，∠HFA＝12∠GFA，∵∠DFE＝30°，∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，∴∠HFA＝12∠GFA＝75°，∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，∴∠RHG＝∠QGH＝12∠FGQ＝12（180°−105°）＝37.5°，∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°； 解：设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为2分钟转半圈，即每秒转1.5°，分三种情况：①当BC//DE时，如图5，此时AC//DF，∴∠CAE＝∠DFE＝30°，∴1.5t＝30，解得：t＝20；②当BC//EF时，如图6，∵BC//EF，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，∴1.5t＝90，解得：t＝60；③当BC//DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，∵PQ//MN，∠PDE=15°，∠EDF=90°，∴∠DRM+（∠PDE+∠EDF）＝180°∴∠DRM=75°，∵BC//DF，∴∠BKA＝∠DRM＝75°，∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，∴∠CAK＝90°−∠BKA＝90°−75°=15°，∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，∴1.5t＝120，解得：t＝80．综上所述：△ABC绕点A顺时针旋转的时间为20s或60s或80s时，线段BC与△DEF的一条边平行．

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