题目

设z1是虚数，z2＝z1 是实数，且﹣1≤z2≤1． （1） 求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； （2） 若ω ，求证ω为纯虚数； （3） 求z2﹣ω2的最小值． 答案： 解：设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0）， 则z2＝z1 +1z1= （a+bi） +1a+bi= （a+bi） +a−bi(a+bi)(a−bi)= （a+bi） +a−bia2+b2= （a +aa2+b2 ）+（b −ba2+b2 ）i， 因为z2是实数， 所以b −ba2+b2= 0，即b（ a2+b2−1a2+b2 ）＝0， 因为b≠0，所以a2+b2＝1， 即|z1|＝1，且z2＝2a， 由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得 −12≤ a ≤12 ， 即z1的实部的取值范围为[ −12 ， 12 ]． 解：∵a2+b2＝1， ω =1−z11+z1=1−a−bi1+a+bi=1−a2−b2−2bi(1+a)2+b2=−bia+1 ， 因为 −12≤ a ≤12 ，b≠0， 所以ω =1−z11+z1 为纯虚数． 解：z2﹣ω2＝（a +aa2+b2 ）+（b −ba2+b2 ）i﹣（ −bia+1 ）2， ＝2a+（b﹣b）i +b2(a+1)2 ＝2a +1−a2(a+1)2 ＝2a +1−aa+1 =2a(a+1)+(1−a)a+1   =2a2+a+1a+1   ＝1 +2a2a+1 ＝1 +2(a+1)2−4a−2a+1 ＝1 +2(a+1)2−4(a+1)+2a+1 ＝1+2（a+1）﹣4 +2a+1 ＝2（a+1） +2a+1− 3，a+1∈[ 12 ， 32 ]， 当2（a+1） =2a+1 时，即a＝0时，z2﹣ω2取最小值1．

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