题目

如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝ BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°． （1） 求证：平面PAB⊥平面PCD； （2） 求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值． 答案： 证明：∵AC＝ 3 BC，AB＝2BC， ∴ AB2=(3BC)2+BC2=4BC2 ， ∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC， 在Rt△ABC中，由AC＝ 3 BC，得∠CAB＝30°， 设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2 3 ， 在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°＝3， ∴CD＝ 3 ， ∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD， ∵PD⊥平面ABC，CD ⊆ 平面ABC， ∴PD⊥CD， 又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB， 又CD ⊆ 平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD 解：∵PD⊥平面ABC， ∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°， ∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD， 由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点， 分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），C（ 3 ，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3）， PA→ ＝（0，﹣3，﹣3）， PC→ ＝（ 3,0,−3 ）， 则 n→ ＝ DP→ ＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量， 设平面PAC的一个法向量 n→ ＝（x，y，z）， 则 {n⇀⋅PA⇀=−3y−3z=0n⇀⋅PC⇀=3x−3z=0 ，取x＝ 3 ，得 n→ ＝（ 3 ，﹣1，1）， 设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ， 则cosθ＝ |n⇀⋅m⇀||n⇀|⋅|m⇀| ＝ 35×3=55 ， ∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为 55

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