题目

开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立．如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T．月球的半径为R，引力常量为G．某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆．A、O、B三点在一条直线上．求： （1） 月球的密度； （2） 在轨道Ⅱ上运行的时间． 答案： 解：设月球的质量为M，卫星的质量为m，对卫星受力分析可得 GMmr2=m(2πT)2r 月球的密度 ρ=M43πR3 联立解得： ρ=3πr3GT2R3 解：椭圆轨道的半长轴 a=R+r2 设椭圆轨道上运行周期为T1，由开普勒第三定律得 a3T12=r3T2 卫星在轨道Ⅱ上运行的时间 t=T12 联立解得： t=(R+r)T4rR+r2r

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