题目

已知函数 . （1） 求函数 的单调递减区间； （2） 设函数 在 上的图象的最高点和最低点分别为A，B，O为坐标原点， ，求 的值. 答案： 解：因为 cos(x4−π4)=cos(π4−x4)=cos[π2−(π4+x4)]=sin(x4+π4) ， 所以 f(x)=cos(x4+π4)⋅cos(x4−π4)=cos(x4+π4)⋅sin(x4+π4)=12sin(x2+π2)=12cosx2 ， 令 2kπ⩽x2⩽2kπ+π （ k∈Z ）， 得 4kπ⩽x⩽4kπ+2π （ k∈Z ）， 所以函数 f(x) 的单调递减区间为 [4kπ,4kπ+2π] （ k∈Z ） 解：由（1）知函数 f(x) 在 [0,2π] 上单调递减， f(0)=12cos02=12 ， f(2π)=12cos2π2=−12 所以 A(0,12) ， B(2π,−12) ， 所以 OA→+OB→=(0,12)+(2π,−12)=(2π,0) ，又 MB→=(2π,−12)−(−π,0)=(3π,−12) ， 所以 (OA→+OB→)⋅MB→=2π×3π=6π2

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