题目

已知某星球的半径为R，有一距星球表面高度h＝R处的卫星，绕该星球做匀速圆周运动，测得其周期T＝2π 。求： （1） 该星球表面的重力加速度g； （2） 若在该星球表面有一如图所示的装置，其中AB部分为一长为12.8 m并以5 m/s沿顺时针匀速转动的传送带，BCD部分为一半径为1.6 m竖直放置的光滑半圆形轨道，直径BD恰好竖直，并与传送带相切于B点。现将一质量为0.1 kg的可视为质点的小滑块无初速地放在传送带的左端A点上，已知滑块与传送带间的动摩擦因数为0.5，问：滑块能否到达D点？若能到达，试求出到达D点时对轨道的压力大小；若不能到达D点，试求出滑块能到达的最大高度及到达最大高度时对轨道的压力大小。 答案： 解：对距星球表面 h=R 处的卫星(设其质量为m)，有 GMm(R+h)2=m(2πT)2(R+h) 对在星球表面的物体 m′ ，有 GMm′R2=m′g 联立解得 g=1.6m/s2 解：设滑块从A到B一直被加速，且设到达B点时的速度为 vB ，则 vB=2ax=2μgx=2×0.5×1.6×12.8m/s=1625m/s 因 vB<5 m/s ，故滑块一直被加速，设滑块能到达D点，且设到达D点时的速度为 vD ，则在B到D的过程中，由动能定理 −mg•2R=12mvD2−12mvB2 解得 vD=vB2−4gr=(1625)2−4×1.6×1.6m/s=3.2m/s 而滑块能到达D点的临界速度 v0=gR=1.6m/s<vD 即滑块能到达D点，在D点由牛顿第二定律知 N+mg=mvD2R 可得 N=0.48N 由牛顿第三定律知滑块对轨道的压力大小为0.48N

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