题目

已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在 上是增函数． （1） 求 和 的值； （2） 求满足不等式 的实数a的取值范围． 答案： 解：∵幂函数 f(x)=(k2−4k+5)x−m2+4m ，∴ k2−4k+5=1 ，解得 k=2 ， 又因为幂函数 f(x) 在 (0,+∞) 上是增函数，∴ −m2+4m>0 ，解得 0<m<4 ， ∵ m∈Z ，∴ m=1， m=2 或 m=3 ， 当 m=2 时， f(x)=x4 ，图象关于 y 轴对称，符合题意； 当 m=1 或 m=3 时， f(x)=x3 ，图象关于原点对称，不合题意， 综上， m=2 ， k=2 ． 解：由（1）可得 m=2 ，∴ (2a−1)−1 ＜ (a+2)−1 而函数 y=x−1 在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上分别为减函数，且当 x>0 时， y=x−1 ＞0， 当 x<0 ， y=x−1 ＜0， ∴满足不等式的条件为 0<a+2<2a−1 或 a+2<2a−1<0 或 2a−1<0<a+2 ， 解得 −2<a<12 或 a>3 ． 故满足不等式 (2a−1)−1 ＜ (a+2)−m2 的 a 的取值范围为 (−2,12)∪(3,+∞) ．

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