题目

阅读材料并回答问题． 数学课上，老师提出了如下问题：已知点O在直线AB上， ， 在同一平面内，过点O作射线OD，满足 ． 当时，如图1所示，求∠DOE的度数． 甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图2，∵点O在直线AB上， ∴ ． ∵ ， ∴∠AOC＝                  ▲                  °． ∵ ， ∴OD平分∠AOC． ∴                  ▲                  °． ∵ ， ． ∴∠DOE＝                  ▲                  °． 乙同学：“我认为还有一种情况．” 请完成以下问题： （1） 请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整． （2） 判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若错误，请说明理由． （3） 将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图3所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值． 答案： 解：∵点O在直线AB上， ∴∠AOB=180°， ∵∠BOC=40°， ∴∠AOC=140∘， ∵∠AOC=2∠AOD， ∴OD平分∠AOC， ∴∠COD=12∠AOC=70∘， ∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°， ∴∠DOE=160∘， 故答案为：40，70，160； 解：正确，理由如下： 当∠AOD在∠AOC的外部时，如图所示： ∵点O在直线AB上， ∴∠AOB=180°， ∵∠BOC=40∘， ∴∠AOC=140°，   ∵∠AOC=2∠AOD， ∴∠AOD=70°， ∵∠COE=90°， ∴∠BOE=50∘， ∴∠DOE=∠AOB−∠AOD−∠BOE ∴∠DOE=60°， 综上所述，∠DOE=60°或160°． 解：∵∠BOC=α，∠COD=∠BOE， ∴∠BOE=∠COD=α－90°，∠AOC=180°－α， 当∠AOD在∠AOC的内部时，如图， ∵∠AOC=2∠AOD， ∴OD平分∠AOC， ∴∠AOD=∠COD，即∠AOC=2∠COD ∴180°－α=2（α－90°）， 解得：α=120°； 当∠AOD在∠AOC的外部时，如图， ∵∠AOC=2∠AOD， ∴∠AOD=12∠AOC=12（180°－α）， ∵∠COD=∠AOC+∠AOD， ∴α－90°=180°－α+12（180°－α）， 解得：α=144°， 综上，α=120°或144°．

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