题目

已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣ ， a=3，求BC边上的高的最大值． 答案：解：（Ⅰ）f（x）=3cos2x+2sin（3π2+x）sin（π﹣x）=3cos2x﹣2cosxsinx=3cos2x﹣sin2x=2（32cos2x﹣12sin2x）=2cos（2x+π6），∴T=2π2=π，令2x+π6=kπ（k∈Z），即x=kπ2﹣π12（k∈Z），∴函数f（x）的对称轴方程为x=kπ2﹣π12（k∈Z），（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+π6），∴f（A）=2cos（2A+π6）=﹣3，即cos（2A+π6）=﹣32，∵0＜A＜π2，∴π6＜2A+π6＜7π6，∴2A+π6=5π6，∴A=π3．设BC边上的高为h，则S△ABC=12bcsinA=12a•h，即bc=23h，h=36bc，∵cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-92bc=12，∴bc+9=b2+c2，∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立．∴bc+9≥2bc，bc≤9，此时b=c，∵A=π3，∴b=c=a=3，等号能成立．∴此时h=332．∴h的最大值为332．

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