题目

如图，在四棱锥 中，O是 边的中点， 底面 ．在底面 中， ． （1） 求证： 平面 ； （2） 求二面角 的余弦值． 答案： 证明：由题意 BC=OA ，又 BC//OA ，所以 BCOA 是平行四边形，所以 AB//OC ， 又 AB⊄ 平面 POC ， OC⊂ 平面 POC ，所以 AB// 平面 POC ； 解： BC=OD,BC//OD ，所以 BCDO 是平行四边形，所以 OB//DC ， OB=CD ，而 CD⊥AD ，所以 OB⊥AD ， 以 OB,OD,OP 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，如图， 则 B(1,0,0) ， A(0,−1,0) ， P(0,0,1) ， AB→=(1,1,0) ， AP→=(0,1,1) ， 设平面 ABP 的一个法向量为 n→=(x,y,z) ，则 {n⇀⋅AB⇀=x+y=0n⇀⋅AP⇀=y+z=0 ，取 x=1 ，则 y=−1,z=1 ，即 n→=(1,−1,1) ， 易知平面 APD 的一个法向量是 m→=(1,0,0) ， 所以 cos<m→,n→>=m→⋅n→|m→||n→|=11×3=33 ， 所以二面角 B−AP−D 的余弦值为 33 ．

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