题目

已知函数 ， ， 为自然对数的底数. （1） 若 ，证明： ； （2） 讨论 的极值点个数. 答案： 解：若 a=1 ，则 f(x)=ex−1−xlnx−1 ， f′(x)=ex−1−lnx−1 (x>0) 令 g(x)=ex−1−x ，则 g′(x)=ex−1−1 当 x∈(0,1) 时， g′(x)<0 ， g(x) 在 (0,1) 上单调递减； 当 x∈(1,+∞) 时， g′(x)>0 ， g(x) 在 (1,+∞) 上单调递增； 因此 g(x)≥g(1)=0 ，即 ex−1≥x ；也有 x−1≥lnx(x>0) ， 所以当 a=1 时， f′(x)=ex−1−lnx−1≥x−(x−1)−1=0 ， 所以 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增； 又因为 f(1)=0 ， 所以，当 x∈(0,1) 时， f(x)<0 ；当 x∈(1,+∞) 时， f(x)>0 ； 所以 (x−1)f(x)≥0 . 解：由题意知 f′(x)=ex−a−lnx−a (x>0) ， 令 h(x)=f′(x) ，则 h′(x)=ex−a−1x ， 当 a≤1 时， h(x)=f′(x)=ex−a−lnx−a≥ex−1−lnx−a≥ex−1−lnx−1≥0 ， 所以 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增， f(x) 无极值点； 当 a>1 时， h′(1)=e1−a−1<0,h′(a)=1−1a>0 ，且 h′(x) 在 (0，+∞) 上单调递增， 故存在 x0∈(1,a) 满足 h′(x0)=ex0−a−1x0=0 ， 因此 ex0−a=1x0；a=x0+lnx0 ， 当 x∈(0,x0) 时， h′(x)<0 ，所以 h(x) 在 (0,x0) 上单调递减； 当 x∈(x0,+∞) 时， h′(x)>0 ，所以 h(x) 在 (x0,+∞) 上单调递增； 所以 h(x)≥h(x0)=ex0−a−lnx0−a=1x0−x0−2lnx0 ， 再令 φ(x0)=1x0−x0−2lnx0,x0∈(1,a) ， φ′(x0)=−1x02−1−2x0<0 ， 所以 φ(x0) 在 (1,a) 上单调递减，且 φ(a)<φ(1)=0 ，即 h(x0)<0 ， 因为 h(e−a)=ee−a−a>0 ，又知 ex−1≥x ， x−1≥lnx(x>0) ， 所以 h(3a)=e2a−ln3a−a>2a+1−ln3a−a=a+1−lna−ln3>2−ln3>0 ， 所以存在 x1∈(e−a,x0) ， x2∈(x0,3a) 满足 h(x1)=h(x2)=0 ， 所以当 x∈(0,x1) 时， f′(x)=h(x)>0 ， f(x) 在 (0,x1) 上单调递增； 当 x∈(x1,x2) 时， f′(x)=h(x)<0 ， f(x) 在 (x1,x2) 上单调递减； 当 x∈(x2,+∞) 时， f′(x)=h(x)>0 ， f(x) 在 (x2,+∞) 上单调递增； 所以，当 a>1 时， f(x) 存在两个极值点 x1,x2 综上可知：当 a≤1 时， f(x) 不存在极值点； 当 a>1 时， f(x) 存在两个极值点，

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