题目

已知函数 是偶函数. （1） 求证： 是偶函数； （2） 求证： 在 上是增函数； （3） 设 （ ，且 ），若对任意的 ，在区间 上总存在两个不同的数 ， ，使得 成立，求 的取值范围. 答案： 解：函数 f(x) 的定义域为 R ，因为 f(−x)=2−x+2−(−x)=2x+2−x=f(x) ，所以 f(x) 是偶函数 解：证明：设 x1>x2≥0 ，则 f(x1)−f(x2)=2x1+2−x1−2x2−2−x2 =(2x1−2x2)+(12x1−12x2)=(2x1−2x2)−2x1−2x22x1+x2   =(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2 .由 x1>x2≥0 ，得 2x1−2x2>0 ， 2x1+x2−1>0 ， 2x1+x2>0 ，所以 (2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2>0 ，即 f(x1)>f(x2) ，所以 f(x) 在 [0，+∞) 上是增函数. 解：由（1）和（2），得 f(x) 在 (−∞，0] 上是减函数，则 f(x)min=f(0)=20+2−0=2 .f(−1)=f(1)=2+12=52 .当 a>1 时， g(x) 的值域为 [loga2+2，loga5+2] .当直线 y=t(loga2+2≤t≤loga5+2) 与函数 y=f(x)(−1≤x≤2) 的图象有两个交点时，{loga2+2>2loga5+2≤52  ，解得 {a>1a≥25  ，即 a≥25 .当 0<a<1 时， g(x) 的值域为 [loga5+2，loga2+2] ，而 loga5+2<loga2+2<2 ，所以直线 y=t(loga5+2≤t≤loga2+2) 与函数 y=f(x)(−1≤x≤2) 的图象没有交点，此时不符合题意.综上，所求 a 的取值范围是 [25，+∞) .

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