题目

已知函数 ，对 ， 满足 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ，使不等式 ，求实数 的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）∵ ∀x∈R ， f(x)=f(2−x) ，∴ f(x) 的图象关于直线 x=1 对称， 又 f(x)=|2x−2a|=2|x−a| ，∴ f(x) 的图象关于直线 x=a 对称， ∴ a=1 . （Ⅱ）令 g(x)=12f(x)−f(x+2) ，由（Ⅰ） f(x)=2|x−1| ， 则 g(x)=|x−1|−2|x+1|={−x−3,x≥1−3x−1,−1≤x<1x+3, x<−1 因此， g(x) 在区间 [−1,+∞) 上单调递减，在区间 (−∞,−1) 上单调递增. ∴ g(x)max=g(−1)=2 . ∃x∈R 使不等式 12f(x)−f(x+2)≥m2+m 等价于 g(x)max≥m2+m ，即 m2+m−2≤0 . 解得 −2≤m≤1 ，即实数 m 的取值范围是 −2≤m≤1

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