题目

如图， 内接于 ， ，它的外角 的平分线交 于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F. （1） 求证： . （2） 若 ， ①当 ，求 的度数（用含 的代数式表示）. ②设 的半径为5， ，求AD的长. 答案： 证明：∵四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， ∴ ∠BCD+∠BAD=180° ， ∵ ∠DAB+∠EAD=180° ， ∴ ∠EAD=∠BCD ， ∴ ∠CAD=∠CBD ， ∵ AD 平分 ∠EAC ， ∴ ∠EAD=∠DAC ， ∴ ∠BCD=∠CBD ， ∴ DB=DC 解：①∵ DA=DF ， ∴ ∠DAF=∠DFA ， ∴ ∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD ， ∴ △DAF∽△DBC ， ∴ ∠ADF=∠BDC ， ∵ ∠ABC=α ，圆内接四边形对角互补， ∴ ∠ADC=180°−α ， ∴ ∠ADF=90°−α2 ， ∴ ∠DAF=∠DFA=(180°−∠ADF)÷2=45°+α4 ， ∠DFC=180°−∠DFA=135°−α4 ； ②连接 DO 交 BC 于G， ∵ BD=DC，OB=OC ， ∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线， ∴ DO⊥BC 且 BG=GC=3 ， ∵ OB=5 ， ∴在 Rt△BOG 中， OG=4 ， ∴ DG=4+OD=9 ， ∴在 Rt△BDG 中， BD=92+32=310 ， ∵ ∠BFC=∠AFD，∠DBC=∠FBC ， ∴ △FBC∽△BCD ， ∴ FBBC=BCBD ， ∴ FB6=6310 ， FB=6510 ， ∴ DF=310−6510=9510 ， ∴ AD=DF=9510 .

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