题目

如图，抛物线 的图象经过点 ，顶点 的坐标为 ，与轴交于 、 两点． （1） 求抛物线的解析式． （2） 连接 ， 为直线 上一点，当 时，求点 的坐标和 的值． （3） 点 是 轴上一动点，当 为何值时， 的值最小．并求出这个最小值． （4） 点 关于轴的对称点为 ，当 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：由题可列方程组： {c=−2a−2a+c=−83 ，解得： {a=23c=−2 抛物线解析式为： y=23x2−43x−2 解：由题， ∠AOC=90° ， AC=5 ， AB=4 ， 设直线 AC 的解析式为： y=kx+b ，则 {−k+b=0b=−2 ，解得： {k=−2b=−2 ， 直线 AC 的解析式为： y=−2x−2 ； 当 ΔAOC∽ΔAEB 时 SΔAOCSΔAEB=(ACAB)2=(54)2=516 ， ∵SΔAOC=1 ， ∴SΔAEB=165 ， 12AB×|yE|=165 ， AB=4 ，则 yE=−85 ， 则点 E(−15 ， −85) ； 由 ΔAOC∽ΔAEB 得： AOAC=AEAB=15 AEAB=55 解：如图2，连接 BF ，过点 F 作 FG⊥AC 于 G ， 则 FG=CFsin∠FCG=55CF ， 55CF+BF=GF+BF⩾BE ， 当折线段 BFG 与 BE 重合时，取得最小值， 由（2）可知 ∠ABE=∠ACO ∴BE=ABcos∠ABE=ABcos∠ACO=4×25=855 ， |y|=OBtan∠ABE=OBtan∠ACO=3×12=32 ， 当 y=−32 时，即点 F(0,−32) ， 55CF+BF 有最小值为 855 解：①当点 Q 为直角顶点时（如图 3): 由（3）易得 F(0,−32) ， ∵C(0 ， −2)∴H(0 ， 2) 设 Q(1,m) ，过点 Q 作 QM⊥y 轴于点 M ． 则 RtΔQHM∽RtΔFQM ∴QM2=HM·FM ， ∴12=(2−m)(m+32) ， 解得： m=1±334 ， 则点 Q(1,1+334) 或 (1,1−334) 当点 H 为直角顶点时： 点 H(0,2) ，则点 Q(1,2) ； 当点 F 为直角顶点时： 同理可得：点 Q(1,−32) ； 综上，点 Q 的坐标为： (1,1+334) 或 (1,1−334) 或 Q(1,2) 或 Q(1,−32)

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