题目

已知抛物线 的焦点 恰好是椭圆 的右焦点. （1） 求实数 的值及抛物线 的准线方程； （2） 过点 任作两条互相垂直的直线分别交抛物线 于 、 和 、 点，求两条弦的弦长之和 的最小值． 答案： 解：由已知椭圆C整理得 x22+y2=1 ⇒a=2,b=1,c=1 , 所以焦点F的坐标为 (1,0) , 所以 p=2  所以抛物线E的准线方程为： x=−1 解：由题意知两条直线的斜率存在且不为零 设直线 AB 的斜率为 k ,方程为 y=k(x−1) , 则 MN 的斜率为 −1k ,方程为 y=−1k(x−1) 设 A(x1,y1) 、 B(x2,y2) ,由 {y=k(x−1)y2=4x 得 k2x2−2(k2+2)x+k2=0 因为 Δ>0 ,所以 x1+x2=2+4k2 , x1x2=1 , 所以 |AB|=x1+x2+2=4+4k2 同理得 |MN|=4+4(−1k)2=4+4k2 , 所以 |AB|+|MN|=8+4(k2+1k2)≥8+8k2×1k2=16 当且仅当 k2=1k2 即 k=±1 时取“等号”,所以两条弦的弦长之和 |AB|+|MN| 的最小值为 16

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