题目

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1） 当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？ （2） 是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根据勾股定理，得 AC2+BC2 =5cm．以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP∽△ABC时， APAC=AMAB ，即 5−2t4 = 4−t5 ，解得t= 32 ；②当△APM∽△ABC时， AMAC=APAB ，即 4−t4 = 5−2t5 ，解得t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t= 32 时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似 解：存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，∴ PHAC=BPBA ，即 PH4 = 2t5 ，∴PH= 85 t，∴S=S△ABC﹣S△BPN，= 12 ×3×4﹣ 12 ×（3﹣t）• 85 t，= 45 （t﹣ 32 ）2+ 215 （0＜t＜2.5）．∵ 45 ＞0，∴S有最小值．当t= 32 时，S最小值= 215 ．答：当t= 32 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是 215 ．

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