题目

如图 ，在边长为 的正方形 中，点 是边 上的一动点（与点 不重合）， 交 于点 ，连结 . （1） 求证： ； （2） 当 的长度是多少时， 是等腰三角形？ （3） 当点 运动到 的中点时,连 结交 于点 ，连结 ， 求证：① ；② . 答案： 证明： ∵ 四边形ABCD是边长为1的正方形， ∴AD=CD=1,∠ADF=∠CDF=45°,∠ADC=90° ， 在 △DAF 和 △DCF 中， {AD=CD∠ADF=∠CDFDF=DF ， ∴△DAF≅△DCF(SAS) ； ∵∠AEF=∠ADC+∠DCE=90°+∠DCE>90° ， ∴ 当 △AEF 是等腰三角形时， ∠AEF 只能是顶角， ∴∠EAF=∠EFA ， ∴∠CED=∠EAF+∠EFA=2∠EAF ， 由（1）已证： △DAF≅△DCF ， ∴∠DAF=∠DCF ，即 ∠EAF=∠DCE ， ∴∠CED=2∠DCE ， 又 ∵∠CED+∠DCE=90° ， ∴∠DCE=30° ， 在 Rt△CDE 中， tan∠DCE=DECD ，即 DE1=tan30°=33 ， 解得 DE=33 ， 则 AE=AD−DE=1−33 ， 故当 AE=1−33 时， △AEF 是等腰三角形； 证明：① ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=DC=AD=BC,∠BAE=∠CDE=90° ， ∵ 点E是AD的中点， ∴AE=DE=12AD ， 在 △ABE 和 △DCE 中， {AB=DC∠BAE=∠CDEAE=DE ， ∴△ABE≅△DCE(SAS) ， ∴∠ABE=∠DCE ， 由（2）知， ∠EAF=∠DCE ， ∴∠ABE=∠EAF ， 又 ∵∠EAF+∠BAF=∠BAE=90° ， ∴∠ABE+∠BAF=90° ， ∴∠AMB=180°−(∠ABE+∠BAF)=90° ， ∴BE⊥AF ； ②如图，延长 AF 交 BC 的延长线于点 H ，交 CD 于点 G ， 在 △ABE 和 △DAG 中， {∠ABE=∠DAGAB=DA∠BAE=∠ADG=90° ， ∴△ABE≅△DAG(ASA) ， ∴DG=AE=12AD=12CD ， ∴DG=CG ， 在 △DAG 和 △CHG 中， {∠ADG=∠HCG=90°DG=CG∠AGD=∠HGC ， ∴△DAG≅△CHG(ASA) ， ∴CH=AD=BC ， ∴CM 是 △BHM 边BH上的中线， 由①可知， △BHM 是直角三角形，且BH是斜边， ∴CB=CM .

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