题目

在极坐标系中，点 坐标是 ，曲线 的方程为 ；以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是 的直线 经过点 ． （1） 写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程； （2） 求证直线 和曲线 相交于两点 、 ，并求 的值． 答案： 解：∵点 M 的直角坐标是 (0，3) ，直线 l 倾斜角是 135∘ ，∴直线 l 参数方程是 {x=tcos135∘y=3+tsin135∘ ，即 {x=−22ty=3+22t ，∴直线 l 的参数方程为 {x=−22ty=3+22t （t为参数） ．由 ρ=22sin(θ+π4) 得， ρ=2(sinθ+cosθ) ，∴ ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ) ，将 ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x 代入上式得 x2+y2−2x−2y=0 ，∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2−2x−2y=0 ． 解：将 {x=−22ty=3+22t  代入 x2+y2−2x−2y=0 ，整理得 t2+32t+3=0 ，∵ Δ=6>0 ，∴ 直线 l 的和曲线 C 相交于两点 A 、 B ，设点 A 、 B 对应的参数分别为 t1、t2 ，则 t1t2=3 ，∴ |MA|⋅|MB|   =|t1t2|=3

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