题目

如图，斜坐标系 中， ， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，且 ， 的夹角为120°，定义向量 在斜坐标系 中的坐标为有序数对 ，在斜坐标系 中完成下列问题： （1） 若向量 的坐标为（2，3），计算 的大小； （2） 若向量 的坐标为 ，向量 的坐标为 ，判断下列两个命题的真假，并说明理由. 命题①：若 ，则 ；命题②：若 ，则 . 答案： 解：由题知 OP→=(2，3)=2e1→+3e2→ ， |e1→|=|e2→|=1，e1→⋅e2→=|e1→|⋅|e2→|cos120°=−12 故 |OP→|=OP→2=(2e1→+3e2→)2 =4e1→2+12e1→⋅e2→+9e2→2=4+12×(−12)+9=7 ； 由题知 OM→=x1e1→+y1e2→ ， ON→=x2e1→+y2e2→ ， 命题①是真命题，证明如下： 当 ON→=x2e1→+y2e2→=0→ 时，即 x2=y2=0 ，显然 x1y2−x2y1=0 . 当 ON→=x2e1→+y2e2→≠0→ 时，即 x2 ， y2 至少一个不为0，不妨设 y2≠0 ， 若 OM→//ON→ ，则存在 λ∈R ，使得 OM→=λON→ ，故 x1e1→+y1e2→=λ(x2e1→+y2e2→) ， 即 (x1−λx2)e1→+(y1−λy2)e2→=0→ ，因为 e1→ 、 e2→ 不共线，所以 {x1−λx2=0y1−λy2=0 ， 由 λ=y1y2 代入 x1−λx2=0 得 x1−y1y2x2=0 ，即 x1y2−x2y1=0 . 综上所述，命题“若 OM→//ON→ ，则 x1y2−x2y1=0 ”是真命题. 命题②是假命题，证明如下： 若 OM→⊥ON→ ，则 OM→⋅ON→=(x1e1→+y1e2→)⋅(x2e1→+y2e2→) =x1x2e1→2+(x1y2+x2y1)e1→⋅e2→+y1y2e2→2 =x1x2+y1y2−12(x1y2+x2y1)=0 . 当 x1y2+x2y1≠0 时，结论 x1x2+y1y2=0 不成立， 所以命题“若 OM→⊥ON→ ，则 x1x2+y1y2=0 ”是假命题.

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