题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A(﹣3，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，顶点为点D，连接AC，BC. （1） 求抛物线的解析式； （2） 在直线CD上是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 若点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分线段MN时，请直接写出点M和点N的坐标. 答案： 解：根据二次函数交点式为 y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0) ，抛物线过A(﹣3，0)，B(1，0)两点， ∴设 y=ax2+bx−3=a(x+3)(x−1) ， ∵x=0时，y＝ax2+bx﹣3=-3， ∴将 (0,−3) 代入 y=a(x+3)(x−1) ∴﹣3a＝﹣3， ∴a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3. 解：由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3①， tan∠BCO=13 ，则 cos∠BCO=310 ， 当点P（P′）在点C的右侧时，如图所示： ∵∠P'BC＝∠BCO， 故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）， 当点P在点C的左侧时， 设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N， ∵∠P'BC＝∠BCO， ∴△BCH为等腰三角形， 则 BC=2CH⋅cos∠BCO=2×CH×310=32+12 ， 解得： CH=53 ，则 OH=3−CH=43 ，故点 H=(0,43) ， 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为： y=43x−43 ②， 联立①②并解得： {x=−5y=−8 ， 故点P的坐标为（﹣5，﹣8）， 综上所述，满足条件的点P坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）. M(﹣1， 2 ﹣2)，N(﹣1﹣ 2 ，﹣2)或 M′ (﹣1，﹣ 2 ﹣2)， N′ (﹣1+ 2 ，﹣2)

查看本题答案和解析