题目

如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（0，﹣6）、B（﹣2，0），与x轴的另一交点为点C． （1） 求此抛物线的解析式； （2） 将直线AC向下平移m个单位，使平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M，求m的值及点M的坐标； （3） 抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 答案： 解：把点A（0，﹣6）、B（﹣2，0）代入抛物线y= 12 x2+bx+c中得：{c=−62−2b+c=0 ，解得： {b=−2c=−6 ，∴抛物线的解析式为：y= 12 x2﹣2x﹣6； 解：y= 12 x2﹣2x﹣6，当y=0时， 12 x2﹣2x﹣6=0，解得：x1=﹣2，x2=6，∴C（6，0）；设直线AC的解析式为：y=kx+b，则 {6k+b=0b=−6 ，解得： {k=1b=−6 ，∴直线AC的解析式为：y=x﹣6，直线AC向下平移m个单位后的直线关系式为：y=x﹣6﹣m，∵平移后的直线与抛物线有且只有一个公共点M，则 {y=12x2−2x−6y=x−6−m ，得： 12x2−2x−6  =0，△=（﹣3）2﹣4× 12 m=0，m= 92 ，代入得：y=x﹣6﹣m=x﹣ 212 ，则 {y=12x2−2x−6y=x−212 ，解得： {x=3y=152 ，∴M（3，﹣ 152 ）； 解：分三种情况：①当∠PAC=90°时，如图1，∵OA=OC=6，∠AOC=90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO=45°，∴△EAC是等腰直角三角形，∴AE=AC，∴OE=OC=6，∴E（﹣6，0），设AE：y=kx+b，则 {b=−6−6k+b=0 ，解得： {b=−6k=−1 ，∴直线AE的解析式为：y=﹣x﹣6，则 {y=12x2−2x−6y=x−6 ，12x2 ﹣2x﹣6=﹣x﹣6，解得：x1=0（舍），x2=2，∴P（2，﹣8），②当∠ACP=90°时，如图2，∠PCB=90°﹣45°=45°，过P作PE⊥BC于E，∴△PEC是等腰直角三角形，∴PE=EC，设P（x， 12  x2﹣2x﹣6），∴PE= 12 x2﹣2x﹣6，EC=﹣x﹣6，∴ 12 x2﹣2x﹣6=﹣x﹣6，解得：x1=6，x2=﹣4，∵P在第二象限，∴x=6不符合题意，舍去，x=﹣4，∴P（﹣4，10），③以AC为直径画圆，交抛物线于两点P1、P2，如图3，则∠AP1C=∠AP2C=90°，∵ P1A2=X2+(12X2−2X−6+6)2 ，P1C2=(6−X)2+(12X2−2X−6)2 ，AC2=62+62=72，由勾股定理得： X2+(12X2−2X−6+6)2  + (6−X)2+(12X2−2X−6)2 =72，化简得：x3﹣8x2+8x+24=0，x3﹣2x2﹣4x﹣（6x2﹣12x﹣24）=0，x（x2﹣2x﹣4）﹣6（x2﹣2x﹣4）=0，（x﹣6）（x2﹣2x﹣4）=0，解得：x1=6（舍），x2=1+ 5 ，x3=1﹣ 5 ，∴P（1+ 5 ，﹣5﹣ 5 ）或（1﹣ 5 ，﹣5+ 5 ），综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为：（2，﹣8），（﹣4，10），（1+ 5 ，﹣5﹣ 5 ），（1﹣ 5 ，﹣5+ 5 ）．

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