题目

如图①，将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点C在第一象限，，．（1）求点C的坐标；（2）以点B为中心，顺时针旋转三角形，得到三角形，点A，C的对应点分别为D，E． ①如图②，当时，与y轴交于点F，求点F的坐标； ②如图③，在（1）的条件下，点F不变，继续旋转三角形，当点D落在射线上时，求证四边形为矩形；（3）点F不变，记P为线段的中点，Q为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）．答案：解：如图，过点C作 C G⊥x 轴， ∵ 点 A(−2，0) ，点 B(6，0) ， ∴AB=8，又 ∵ ∠ACB=90° ， ∠CAB=30° ， ∴在Rt△ABC中，BC=4，在Rt△GBC中，BG=2，CG= 23 ．又 ∵ 点C在第一象限， ∴ C(4，23) ；解：① ∵ 以点B为中心，顺时针旋转三角形 ABC ，得到三角形 BDE ，点A，C的对应点分别为D，E，且 DE//AB ， ∴ ∠FBA=∠EDB=∠CAB=30° ． ∴在Rt△FOB中， ∵ OB=6， ∴OF= 23 ． ∴ F(0，23) ； ②∵点D落在射线 BC 上， ∴ ∠ABD=60° ．由①知， ∠FBA=30° ， ∴ ∠FBD=30° ． ∵ ∠FBD=∠BDE ， ∴ DE//FB ．又 DE=FB=43 ， ∴四边形 FDEB 是平行四边形. 又 ∠BED=90° ， ∴四边形 FDEB 是矩形. 23−2≤PQ≤23+2

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