题目

综合与探究 抛物线 与x轴交于A ， B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ， 直线l经过B ， C两点，点P为抛物线上一个动点（不与B ， C重合）． （1） 求A ， B ， C三点的坐标及直线l的表达式； （2） 如图1，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E ， 设点P的横坐标为m ． ①求线段PE的长（用含m的代数式表示）； ②请求出线段PE的最大值； （3） 如图2，点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q ， 使以点B ， C ， Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：设y=-23x2+43x+2=0， ∴x2-2x-3=0， （x-3）（x+1）=0， ∴x=-1或3， ∴A（-1，0），B（3，0）， 当x=0时，y=2， ∴C（0，2）， 设直线l的解析式为y=kx+2， ∴3k+2=0， k=-23， ∴直线l的解析式为y=-23x+2. 解：① ∵P点横坐标为m， PE∥x轴 ， ∴-23x+2=-23m2+43m+2， 解得x=m2-2m， ∴PE=m-（m2-2m）=-m2+3m， ② ∵PE=-m2+3m=-（m-32）2+94， ∵-1<0， ∴PE的最大值为94. 解：∵y=-23x2+43x+2=-23x-12+83，  ∵对称轴为x=1， 设Q（1，k）， ∴BC2=22+32=13，BQ2=k2+4，CQ2=1+（k-2）2， 当∠BQC=90°时，BQ2+CQ2=BC2， 即k2+4+1+（k-2）2=13， k2-2k-2=0 ∴k=-1±3， ∴Q1（1，-1+3），Q2（1，-1-3）； 当∠BCQ=90°时，BQ2=CQ2+BC2， 即k2+4=1+（k-2）2+13， 4k=14， ∴k=72， ∴Q3（1，72）； 当∠CBQ=90°时，CQ2=BQ2+BC2， 即1+（k-2）2=k2+4+13， -4k=12， ∴k=3， ∴Q4（1，-3）； 综上，Q1（1，-1+3），Q2（1，-1-3），Q3（1，72），Q4（1，-3）.

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