题目

如图所示，四边形 为菱形，且 ， ， ，且 ， 平面 . （1） 求证：平面 平面 ； （2） 求平面 与平面 所成锐二面角的正弦值. 答案： 证明：∵ BE//DF,DF⊥ 平面 ABCD ,∴ BE⊥ 平面 ABCD ,  又 BE⊂ 平面 ABE ,∴平面 ABE⊥ 平面 ABCD . 解：设 AC 与 BD 的交点为 O ,建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz , 则 A(3,0,0),B(0,1,0),E(0,1,3),F(0,−1,3) ， ∴ EF⇀=(0,−2,0),AE⇀=(−3,1,3),AB⇀=(−3,1,0) 设平面 AEF 的法向量为 n1⇀=(x1,y1,z1) ，则 {EF⇀⋅n1⇀=0AE⇀⋅n1⇀=0 ， 即 {−2y1=0−3x1+y1+3z1=0 ， 令 x1=1 ，则 y1=0,z1=0 ，∴ n1⇀=(1,0,1) . 设平面 ABE 的法向量为 n2⇀=(x2,y2,z2) ，则 {AE⇀⋅n2⇀=0AB⇀⋅n2⇀=0 ， 即 {−3x2+y2+3z2=0−3x2+y2=0 ， 令 x2=1 ，则 y2=3,z2=0 ，∴ n2⇀=(1,3,0) . ∴ cosn1⇀,n2⇀=n1⇀⋅n2⇀|n1⇀|⋅|n2⇀|=12×2=24 ，∴ sinn1⇀,n2⇀=144 ， ∴平面 AEF 与平面 ABE 所成锐二面角的正弦值为 144 .

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