题目

如图，三棱柱 中，侧棱 平面ABC， 为等腰直角三角形， ，且 ，E，F分别是 ， 的中点. （Ⅰ）若D是 的中点，求证： 平面AEF； （Ⅱ）线段AE（包括端点）上是否存在点M，使直线 与平面AEF所成的角为 ？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由. 答案：解：（Ⅰ）连接 DC1 ， BC1 ， 因为D，E分别是 AA1 ， CC1 的中点， 故 AE//DC1 ， AE⊄ 平面 BDC1 ， DC1⊂ 平面 BDC1 ， 所以 AE// 平面 BDC1 . 因为E，F分别是 CC1 ， BC 的中点， 所以 EF//BC1 ， EF⊄ 证平面 BDC1 ， BC1⊂ 平面 BDC1 ， 所以 EF// 平面 BDC1 ， 又 AE∩EF=E ， AE⊂ 平面 AEF ， AF⊂ 平面AEF， 所以平面 AEF// 平面 BDC1 ， 又 BD⊂ 平面 BDC1 ，所以 BD// 平面AEF， （Ⅱ）解：题意得AB，AC， AA1 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 A−xyz ， 则 A(0,0,0) ， B1(2,0,2) ， E(0,2,1) ， F(1,1,0) . 因为 AE→=(0,2,1) ， AF→=(1,1,0) . 设平面AEF的法向量为 n→=(x,y,z) ， 由 {n→⋅AE⇀=0n→⋅AF⇀=0 ，得 {2y+z=0x+y=0 ， 令 z=2 ，得 x=1 ， y=−1 ， 所以平面AEF的一个法向量为 n→=(1,−1,2) . 设 AM→=λAE→=(0,2λ,λ)(0≤λ≤1) ，又 AB1→=(2,0,2) ， 所以 B1M→=AM−AB1→=(−2,2λ,λ−2) . 若直线 B1M 与平面AEF所成角为 60° ， 则 sin60°=|cos〈n→,B1M→〉|=|n→⋅B1M→||n→|⋅|B1M¯| =|1×(−2)+(−1)×2λ+2×(λ−2)|12+(−1)2+22⋅(2λ)2+(−2)2+(λ−2)2 =66×5λ2−4λ+8=65λ2−4λ+8=32 . 解得： λ=0 或 λ=45 ，即当点M与点A重合， 或 AM→=45AE→ 时，直线 B1M 与平面AEF所成的角为 60° .

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