题目

已知函数y=f（x），若存在x0 ， 使得f（x0）=x0 ， 则称x0是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2 （Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点； （Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线 是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）当 a=2,b=1 时， f(x)=2x2+2x−1 ，解 2x2+2x−1=x 得， x=−1,x=12 ，所以函数的不动点为 x=−1,x=12 . （Ⅱ）因为对于任意实数 b ，函数 f(x) 有两个不同的不动点，所以对于任意实数 b ，方程 f(x)=x 恒有两个不相等的实根，即方程 ax2+(b+1)x+b−2=x 恒有两个不相等的实根，所以 Δx=b2−4a(b−2)>0 ，即对于任意实数 b ， b2−4a(b−2)>0 ，所以 Δb=(−4a)2−4×8a<0 ，解得 0<a<2 ． （Ⅲ）设函数 f(x) 的两个不动点为 x1,x2 ，则 A(x1,x1),B(x2,x2) ，且 x1,x2 是方程 ax2+bx+b−2=0 的两个不等根，所以 x1+x2=−ba ，直线 AB 的斜率为 1 ，线段 AB 的中点坐标为 (−b2a,−b2a) ，因为直线 y=kx+1a2+1 是线段 AB 的垂直平分线，所以 k=−1 ，且 (−b2a,−b2a) 在直线 y=kx+1a2+1 上，则 −b2a=kb2a+1a2+1 ， a∈(0,2) ，所以 b=−aa2+1=−1a+1a≥−12a⋅1a=−12 ，当且仅当 a=1∈(0,2) 时等号成立，又 b<0 ，所以实数 b 的取值范围是 [−12,0)

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