题目

定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线称为这两个点的“幸福直线”. （1） 若点A（0，2），幸福直线： ，求点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标，并求出直线AB的解析式； （2） 若点C（1，m）在反比例函数 （ ）图象上，若点C关于幸福直线l的对称点D也在此反比例函数图象上，请求出此时△CDO的面积； （3） 平面直角坐标系中，点E的坐标是（0，2），在x轴上任取一点F，过点F做x轴的垂线l1 ， 点E和点F的幸福直线为l2 ， 直线l1 ， l2的交点为P，当F点在x轴上运动时，此时点P在一函数图象上运动； ①求点P所在函数图象的解析式； ②若直线EP交点P所在的函数图象于点Q，求证：∠POE=∠QOE. 答案： 解：∵A、B关于直线 y=x 对称，且点A在y轴上， ∴点B并在x轴上，且点A到原点的距离等于点B到原点的距离， ∴点B（2，0）， 设直线AB的表达式为y=kx+b，将点A（0，2），点B（2，0）代入表达式，得到： {b=22k+b=0  ，解得： {b=2k=−1 ， ∴直线AB的表达式为y=-x+2 解：如图， ∵ y=4x 关于直线y=x和y=-x对称，且C关于过原点幸福直线C的对称点也在 y=4x 上， ∴幸福直线为y=x或y=-x， 当y=x时， D1 为（1，4）， 当y=-x时， D2 为（-1，-4）， 当为 D1 时， CD1=(4−1)2+(1−4)2=32 ， 设 CD1 与y=x交于点E，且E为 CD1 的中点， ∵ OC=12+42=17 ， ∴ OE=OC2−CE2=17−92=522 ， ∴ S△COD1=12×CD1×OE=12×32×522=152 ， 当为 D2 时， CD2=(4+1)2+(1+4)2=52 ， 设 CD2 与y=-x交于点F，且F为 CD2 的中点， ∵ OC=12+42=17 ， ∴ OF=OC2−CF2=322 ， ∴ S△COD2=12×CD2×OF=12×52×322=152=S△COD1 ， ∴ S△COD=152 ； 解：①设F（m，0），则直线 l1 为x=m，直线EF的解析式为 y=−2mx+2 ， ∵ l1⊥l2 ， ∴直线 l2 的k值为 m2 ， 设直线 l2 的解析式为： y=m2x+b1 ， ∵直线 l2 过EF的中点（ m2 ，1）， ∴ b1=1−m24 ， ∴ y=m2x+1−m24 ， ∵ l1，l2 交于点P， ∴当x=m时， y=1+m24 ， ∴点P为（ m，1+m24 ）， 当m=0时，有纵坐标最小值1，当m越来越偏离x=0时，纵坐标越大且 纵坐标左右两边对称，由此可得点P所在的图象为抛物线，且关于x=0对称，且过点（0，1），（2，2）， ∴设 y=ax2+bx+c ， ∵ −b2a=0 ， ∴b=0， ∴ y=ax2+c ， 把点（0，1），（2，2）代入 y=ax2+c 中，得到a= 14 ，c=1， ∴点P所在函数图象的解析式为 y=14x2+1 ； ②证明：设 p(n，14n2+1) ， ∴直线EP为： y=14n2−1nx+2=(14n−1n)x+2 ∵EP与抛物线交于点Q， ∴ 14x2+1=(14n−1n)x+2 ， ∴ x1=n，x2=−4n ， ∵P点横坐标为n， ∴Q点坐标为 (−4n，4n2+1) ， ∴直线OP的k值为： 14n+1n ，直线OQ的k值为： −1n−n4 ， ∴OP与OQ的k值互为相反数， ∴OP与x=0的夹角与OQ与x=0的夹角相等， ∴∠POE=∠QOE.

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