题目

如图，在正六边形 中，将 沿直线 翻折至 ，使得平面 平面 ，O，H分别为 和 的中点. （1） 证明： 平面 ； （2） 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 答案： 如图，取 A′E 的中点G， 连结 FG,HG,CE . 又因为H是 A′C 的中点， 所以 HG∥CE ， HG=12CE . 又因为正六边形 ABCDEF 中， BF∥CE ， BF=CE ， 所以 HG∥BF 同， HG=12BF . 又O为 BF 的中点，所以 HG∥OF ， HG=OF ， 所以四边形 OFGH 为平行四边形，所以 OH∥FG . 因为 FG⊂ 平面 A′EF ， OH⊂ 平面 A′EF ， 所以 OH∥ 平面 A′EF . 由条件可知 OA′⊥OB,OA′⊥OD,OD⊥OB . 分别以 OB→ 为x轴正方向､ OD→ 为y轴正方向､ OA′→ 为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz . 设正六边形 ABCDEF 的边长为2，则 B(3,0,0) ， C(3,2,0) ， D(0,3,0) ， E(−3,2,0) ， A′(0,0,1) ， 所以 BC→=(0,2,0) ， A′C→=(3,2,−1) ， ED→=(3,1,0) ， A′D→=(0,3,−1) . 设平面 A′BC 的法向量为 n1→=(x1,y1,z1) ， 由 {n1⇀⋅BC⇀=0,n1⇀⋅A′C⇀=0, 得 {2y1=0,3x1+2y1−z1=0. 取 x1=1 ，可得 n1→=(1,0,3) . 设平面 A′DE 的法向量为 n1→=(x2,y2,z2) ， 由 {n2⇀⋅ED⇀=0,n2⇀⋅A′D⇀=0, 得 {3x2+y2=0,3y2−z1=0. 取 x2=1 ，可得 n2→=(1,−3,−33) . 设平面 A′BC 与平面 A′DE 所成锐二面角的大小为 θ ， 则 cosθ=|cos<n1→,n2→>|=|n1→⋅n2→||n1→|⋅|n2→|=|1×1+0×(−3)+3×(−33)|1+0+3×1+3+27=43131 ， 所以平面 A′BC 与平面 A′DE 所成锐二面角的余弦值为 43131 .

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