题目

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（4，6），点P为线段OA上一动点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PE⊥CP交AB于点D，且PE＝PC，过点P作PF⊥OP且PF＝PO（点F在第一象限），连结FD、BE、BF，设OP＝t． （1） 直接写出点E的坐标（用含t的代数式表示）：； （2） 四边形BFDE的面积记为S，当t为何值时，S有最小值，并求出最小值； （3） △BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，说明理由． 答案： 【1】（t+6，t） 解：∵DA∥EG，∴△PAD∽△PGE，∴ ADGE=PAPG ，∴ ADt=4−t6 ，∴AD= 16 t（4﹣t）， ∴BD=AB﹣AD=6﹣ 16 t（4﹣t）= 16 t2﹣ 23 t+6，∵EG⊥x轴、FP⊥x轴，且EG=FP， ∴四边形EGPF为矩形，∴EF⊥BD，EF=PG， ∴S四边形BEDF=S△BDF+S△BDE= 12 ×BD×EF= 12 ×（ 16 t2﹣ 23 t+6）×6= 12 （t﹣2）2+16， ∴当t=2时，S有最小值是16 解：①假设∠FBD为直角，则点F在直线BC上∵PF=OP＜AB， ∴点F不可能在BC上，即∠FBD不可能为直角； ②假设∠FDB为直角，则点F在EF上，∵点D在矩形的对角线PE上， ∴点D不可能在EF上，即∠FDB不可能为直角； ③假设∠BFD为直角且FB=FD，则∠FBD=∠FDB=45°如图2，作FH⊥BD于点H， 则FH=PA，即4﹣t=6﹣t，方程无解， ∴假设不成立，即△BDF不可能是等腰直角三角形．

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