题目

如图，抛物线y= （x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1） 求点A，B，D的坐标； （2） 连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC； （3） 以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标． 答案： 解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y=0，得 12 （x﹣3）2﹣1=0，解得：x1=3+ 2 ，x2=3﹣ 2 ，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣ 2 ，0），B（3+ 2 ，0） 方法一：证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．令x=0，得y= 72 ，∴C（0， 72 ）．∴CG=OC+OG= 72 +1= 92 ，∴tan∠DCG= 23 ．设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣ 2 ）= 2 ．由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．∴tan∠EOM=tan∠DCG= EMOM = 23 ，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3．在Rt△AEM中，AM= 2 ，EM=2，由勾股定理得：AE= 6 ；在Rt△ADM中，AM= 2 ，DM=1，由勾股定理得：AD= 3 ．∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO=∠ADC方法二：∵C（0， 72 ），D（3，﹣1），∴KCD= 72+10−3=−32 ，∵OE⊥CD，∴KCD×KOE=﹣1，∴KOE= 32 ，∴lOE：y= 32 x，把x=3代入，得y=2，∴E（3，2），∵A（3﹣ 2 ，0），D（3，﹣1），∴KEA= 23−3+2 = 2 ，∵KAD= 0+13−2−3=−22 ，∴KEA×KAD=﹣1，∴EA⊥AD，∠EHD=∠EAD，∵∠EFH=∠AFD，∴∠AEO=∠ADC 方法一：解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2．∵y= 12 （x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2．∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．将y=1代入y= 12 （x﹣3）2﹣1，得 12 （x﹣3）2﹣1=1，解得：x1=1，x2=5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去．∴P（5，1）．∵△EQ2P为直角三角形，∴过点Q2作x轴的平行线，再分别过点E，P向其作垂线，垂足分别为M点和N点．由切割线定理得到Q2P=Q1P=2，EQ2=1设点Q2的坐标为（m，n）则在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2=1①，（5﹣m）2+（n﹣1）2=4②①﹣②得n=2m﹣5③将③代入到①得到m1=3（舍，为Q1）m2= 195再将m= 195 代入③得n= 135 ，∴Q2（ 195 ， 135 ）此时点Q坐标为（3，1）或（ 195 ， 135 ）方法二：由⊙E的半径为1，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小，设点P坐标为（x，y），EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2，∵y= 12 （x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2，∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5，∴当y=1时，EP2有最小值，将y=1代入y= 12 （x﹣3）2﹣1得：x1=1，x2=5，又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去，∴P（5，1），显然Q1（3，1），∵Q1Q2被EP垂直平分，垂足为H，∴KQ1Q2×KEP=﹣1，∴KEP= 2−13−5 =﹣ 12 ，KQ1Q2=2，∵Q1（3，1），∴lQ1Q2：y=2x﹣5，∵lEP：y=﹣ 12 x+ 72 ，∴x= 175 ，y= 95 ，∴H（ 175 ， 95 ），∵H为Q1Q2的中点，∴Hx= Q1(x)+Q2(x)2 ，HY= Q1(Y)+Q2(Y)2 ，∴Q2（x）=2× 175 ﹣3= 195 ，Q2（Y）=2× 95 ﹣1= 135 ，∴Q2（ 195 ， 135 ）．

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