题目

已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点P在椭圆上， ．若 的周长为6，面积为 ． （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过 直线与椭圆交于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为 ，证明： 为定值． 答案： 由题意得： {2a+2c=612⋅2c⋅b2a=32⇒{a=2b=3 ， 椭圆C的标准方程为 x24+y23=1 设直线MN的方程为： x=my+12,M(x1,y1),N(x2,y2),A(−2,0),B(2,0) {x=my+123x2+4y2=12⇒3(m2y2+my+14)+4y2=12 ∴(3m2+4)y2+3my−454=0 ， 由韦达定理得 y1y2=−4543m2+4 ， y1+y2=−3m3m2+4 由 x224+y223=1⇒x2−2y2=−43y2x2+2 ∴k1k2=y1x1+2⋅x2−2y2=−43y1y2(x1+2)(x2+2)=−43y1y2(my1+52)(my2+52) =−43⋅y1y2m2y1y2+52m(y1+y2)+254=−43⋅−4543m2+4m2⋅−4543m2+4+52m⋅−3m3m2+4+254 =15−454m2−152m2+754m2+25=35 为定值．

查看本题答案和解析