题目

已知函数 ， . （1） 若 ， 求的单调区间； （2） 若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 答案： 解：当a=1时，f(x)=xex−x+1，则f'(x)=(x+1)ex−1.当x∈(−∞，0)时，因为x+1<1，且0<ex<1，所以(x+1)ex<1，所以f'(x)=(x+1)ex−1<0，f(x)单调递减.当x∈(0，+∞)时，因为x+1>1，且ex>1，所以(x+1)ex>1，所以f'(x)=(x+1)ex−1>0，f(x)单调递增.所以当a=1时，f(x)的单调递减区间为(−∞，0)，单调递增区间为(0，+∞). 解：f(x)≥alnx恒成立等价于xex−ax+a−alnx≥0(x>0)恒成立，令h(x)=xex−ax+a−alnx(x>0)，则h(x)min≥0.①当a=0时，h(x)=xex>0在区间(0，+∞)上恒成立，符合题意；②当a>0时，h'(x)=(x+1)ex−a−ax=(x+1)⋅(ex−ax)=(x+1x)(xex−a)，令g(x)=xex−a，g'(x)=(x+1)ex，即g(x)在(0，+∞)上单调递增，g(0)=−a<0，g(a)=aea−a=a(ea−1)>0，则存在x0∈(0，a)，使得g(x0)=0⇒x0ex0−a=0，此时x0ex0=a，即x0+lnx0=lna，则当x∈(0，x0)时，h'(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(x0，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增.所以h(x)min=h(x0)=x0ex0−a(x0+lnx0)+a=2a−alna.令h(x)min≥0，得2a−alna≥0.因为a>0，所以0<a≤e2.综上，实数a的取值范围为[0，e2].

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