题目

已知函数 . （1） 若 轴为曲线 的切线，试求实数 的值； （2） 已知 ，若对任意实数 ，均有 ，求 的取值范围. 答案： 解：由 f′(x)=ex+3x2+m ， 设曲线 y=f(x) 与x轴相切于 P(x0,0) ，则 f(x0)=0 ， f′(x0)=0 . 所以 {ex0+x03+mx0+2=0ex0+3x02+m=0 ，代入整理得 (1−x0)[ex0+2(1+x0+x02)]=0 ， 由 ex0>0 ， 1+x0+x02=(x0+12)2+34>0 ，∴ x0=1 ，此时 m=−e−3 . 经检验，当 m=−e−3 时，x轴为曲线 y=f(x) 的切线 解：由 g(x)=f(x)−ex=x3+mx+2 ，记 h(x)=ex+1−x ， h′(x)=ex+1−1 x∈(−∞,−1) 时， h′(x)<0 ； x∈(−1,+∞) 时， h′(x)>0 ， 故 y=h(x) 在 (−∞,−1) 上单调递减，在 (−1,+∞) 上单调递增. 所以 h(x)≥h(−1)=2 不妨设 ex+1−x=t ( t≥2 )，则 g(ex+1)−g(x)=g(x+t)−g(x) =[(x+t)3+m(x+t)+2]−(x3+mx+2) =t[3(x+t2)2+14t2+m] 因为 t∈[2,+∞) 时，要满足 g(x+t)≥g(x) 恒成立， 则 3(x+t2)2+14t2≥3×(−1+22)2+14×22=1 ( t=2 时， x=−1 ，能同时取等号). 即 1+m≥0 即可，解得 m∈[−1,+∞) . 综上， m∈[−1,+∞) 时符合题意

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