题目

已知二次函数 满足 ，且 （1） ． （1） 求 的解析式； （2） 设 ，求 在 ， 上的最值． 答案： 解：设二次函数 f(x)=ax2+bx+c ， (a≠0) ， 则 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c ， 又 ∵f(x+1)=f(x)−2x+1 ， ∴ax2+(2a+b)x+a+b+c=ax2+(b−2)x+c+1 ， ∴   {2a+b=b−2a+b+c=c+1 ，解得 {a=−1b=2 ， ∵f（1） =2 ， ∴a+b+c=2 ， ∴c=1 ， ∴f(x)=−x2+2x+1 ． 解：由（1）可得 g(x)=−x2+(2−2m)x+1 ，则 g(x) 图象的对称轴方程为 x=1−m ， ①当 1−m⩽−1 ，即 m⩾2 时， g(x) 在 [−1 ， 3] 上单调递减， 则 g(x)min=g （3） =−6m−2 ， g(x)max=g(−1)=2m−2 ， ②当 −1<1−m⩽1 ，即 0⩽m<2 时， g(x) 在 [−1 ， 1−m] 上单调递增，在 [1−m ， 3] 上单调递减， 则 g(x)max=g(1−m)=m2−2m+2 ， g(x)min=g （3） =−6m−2 ， ③当 1<1−m<3 ，即 −2<m<0 时， g(x) 在 [−1 ， 1−m] 上单调递增，在 [1−m ， 3] 上单调递减， 则 g(x)max=g(1−m)=m2−2m+2 ， g(x)min=g(−1)=2m−2 ， ④当 1−m⩾3 ，即 m⩽−2 时， g(x) 在 [−1 ， 3] 上单调递增， 则 g(x)max=g （3） =−6m−2 ， g(x)min=g(−1)=2m−2 ， 综上所述， g(x)max={2m−2,m⩾2,m2−2m+2,−2<m⩽2,−6m−2,m⩽−2,g(x)min={−6m−2,m⩾0,2m−2,m<0, ．

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