题目

已知函数，，．（1）求函数的值域；（2）求函数单调递减区间；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 答案：解：f(x)=sin2x+cos2x+3=2sin(2x+π4)+3．因为x∈[0，π2]，所以π4⩽2x+π4⩽5π4，所以sin(2x+π4)∈[−22，1]，所以f(x)的值域为[2，3+2]；解：因为π4⩽2x+π4⩽5π4，又y=sinx在[π2，3π2]上递减，所以当π2⩽2 x+π4⩽5π4时，f(x)递减，所以函数y=f(x)单调递减区间为[π8，π2]；解：因为f(x)+2>0，所以不等式等价于m⩾f(x)f(x)+2=1−2f(x)+2；因为f(x)+2∈[4，5+2]，所以当f(x)+2=5+2时，f(x)f(x)+2有最大值13+2223；所以实数m的取值范围为m⩾13+2223

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