题目

已知函数 ， （1） 判断函数 的奇偶性，并求函数 的值域； （2） 若实数 满足 ，求实数 的取值范围． 答案： 解：因为 y=g(x)=f(x)−1=2⋅3x3x+3−x−1=3x−3−x3x+3−x ， ∴ g(−x)=3−x−3x3x+3−x=−g(x) ，所以函数 g(x) 是奇函数， ∵ 1+3−2x>1 ，∴ 0<21+3−2x<2 ，∴ −1<21+3−2x−1<1 ， 所以函数 y=g(x) 的值域是 (−1,1) ． 解：因为 y=1+3−2x 在 R 上单调递减， 所以 g(x)=2⋅3x3x+3−x−1=21+3−2x−1 在 R 上是单调递增函数， 所以 y=g(x) 在 R 上是单调递增函数，且是奇函数， 由 g(m)+g(m−2)>0 得， g(m)>−g(m−2)=g(2−m) ， ∵ y=g(x) 在 R 上是单调递增函数，∴ m>2−m ，∴ m>1 ， ∴实数 m 的取值范围是 (1,+∞) ．

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