题目

如图，在 中，点 是 边上的一个动点，过点 作直线 ，设 交 的角平分线于点 ，交 的外角平分线于点 . （1） 求证： ； （2） 当点 运动到何处时，四边形 是矩形？并证明你的结论. （3） 当点 运动到何处，且 满足什么条件时，四边形 是正方形？并说明理由. 答案： 解：如图， ∵MN//BC ， ∴∠3=∠2 ， 又 ∵CF 平分 ∠GCO ， ∴∠1=∠2 ， ∴∠1=∠3 ， ∴FO=CO ， 同理： EO=CO ， ∴EO=FO . 解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形. ∵ 当点 O 运动到 AC 的中点时， AO=CO ， 又 ∵EO=FO ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形， 由（1）可知， FO=CO ， ∴AO=CO=EO=FO ， ∴AO+CO=EO+FO ，即 AC=EF ， ∴ 四边形 AECF 是矩形. 解：当点 O 运动到 AC 的中点时，且 ΔABC 满足 ∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形 AECF 是正方形. ∵ 由（2）知，当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形， ∵MN//BC ， ∴∠AOE=∠ACB ∵∠ACB=90° ， ∴∠AOE=90° ， ∴AC⊥EF ， ∴ 四边形 AECF 是正方形.

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