题目

如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， . （1） 证明： ； （2） 若面 面 ， ， ， ，求 到平面 的距离. 答案： 连接 AC 交 BD 于 O ，连接 SO . 在菱形 ABCD 中， BD⊥AC ， O 是 BD 的中点，又因为 SB=SD ，所以所以 BD⊥SO ，又 AC∩​SO=O ， 所以 BD⊥面SAC   又 SA⊂面SAC ，所以 BD⊥SA . 因为面 SBD⊥ 面 ABCD ，面 SBD∩​ 面 ABCD   =BD ，   SO⊥BD ， SO⊂面SBD ，所以 SO⊥面ABCD ，即 SO 是三棱锥 S−ABD 的高 依题意可得， ΔABD 是等边三角形，所以 BD=AD=1 ， AO=32 ， 在等腰 RtΔSBD ， SO=12BD=12 ， VS−ABD=13×(12×1×32)×12=324 经计算得 SD=22 ， SA=1 ， 等腰三角形 ASD 的面积为 SΔASD=12×22×1−(24)2=78   设 B 到平面 SAD 的距离为 h ，则由 VB−SAD=VS−ABD 可得 13×SΔASD×h=324 ，解得 h=217 所以 B 到平面 SAD 的距离为 217

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